Cap sur l’hypothèse de Riemann | Voyages au pays des maths | ARTE

Le pays des mathématiques est décrit comme un endroit exotique et déroutant où on parle une langue bizarre remplie de concepts complexes comme les morphismes de variétés différentielles.

Une visite express au pays des maths avec un guide (le présentateur) destinée à jeter un œil aux paysages mathématiques sans vraiment faire de mathématiques.

Il suffit d'un guide et d'un cerveau en état de marche pour explorer ce territoire fascinant.

• Découvrir des paysages épiques • Rencontrer des idées vertigineuses • Trouver parfois des choses utiles

Parmi la foule anonyme des nombres entiers, les nombres premiers sont plus égaux que les autres. Un nombre premier n'est divisible que par lui-même et par 1.

• 7 et 11 sont des nombres premiers • 4 et 15 ne le sont pas

Les nombres premiers sont les atomes, les éléments de base qui permettent de construire les autres par multiplication.

Cette notion fondamentale n'a pas épuisé ses mystères et est au cœur de l'une des questions ouvertes les plus importantes des mathématiques : l'hypothèse de Riemann.

Les nombres premiers sont affreusement mal rangés, surgissant au hasard comme des mauvaises herbes dans le jardin des entiers.

• On barre tous les multiples de 2 • Puis tous les multiples de 3 • Puis les multiples des nombres premiers successifs • Ce qui échappe à l'élimination sont les nombres premiers

Cet apparent désordre a fasciné des générations de mathématiciens, notamment le jeune Karl Friedrich Gauss qui passait des heures plongé dans les tables de nombres premiers à la lumière d'une chandelle à la fin du XVIIIe siècle.

Comment ces composants élémentaires du nombre peuvent-ils être répartis de façon aussi irrégulière et imprévisible?

Gauss envisage les choses sur un plan statistique plutôt que d'essayer de comprendre individuellement chaque nombre premier.

Une fonction compte les nombres premiers et son graphe ressemble à un escalier irrégulier qui commence par une montée raide et devient plus praticable au fur et à mesure qu'on avance.

En reculant suffisamment, l'escalier prend l'apparence d'une courbe régulière, révélant un semblant d'ordre dans la répartition des nombres premiers qui se raréfient progressivement.

Gauss transcrit cette observation en utilisant les logarithmes : la probabilité qu'un nombre plus petit que x soit premier évolue comme x divisé par le logarithme de 2x. Cette approximation est appelée le théorème des nombres premiers.

• Une série est une liste infinie d'additions • Certaines sont divergentes et produisent un résultat infini • D'autres convergent vers une valeur donnée

C'est la question de trouver la valeur vers laquelle converge la série des inverses des carrés des nombres entiers.

En 1741, le mathématicien suisse Leonhard Euler prouve que la série converge et qu'elle est égale à pi au carré sur six, ce qui constitue une énorme surprise.

Euler poursuit son travail sur les séries de fractions et invente la fonction zêta qui généralise le processus en élevant la suite de fractions à une puissance x quelconque, créant la fonction zêta de x.

En reprenant le principe du crible d'Ératosthène, on découvre une autre façon d'écrire la fonction zêta de 2x : non plus une série infinie d'additions mais une série infinie de multiplications faisant intervenir la liste de tous les nombres premiers.

C'est extrêmement bizarre parce que la théorie des séries infinies appartient à l'analyse tandis que les nombres premiers appartiennent à la théorie des nombres, deux branches des mathématiques tout à fait disjointes.

La fonction zêta constitue un lien souterrain entre des domaines mathématiques tout à fait distincts.

On pourrait donc imaginer que cette fonction constitue le moyen de découvrir l'ordre caché dans la distribution des nombres premiers.

• Le plan complexe est une extension du domaine des nombres réels • Les nombres réels se situent sur une droite avec les positifs d'un côté et les négatifs de l'autre • Les nombres complexes se répartissent dans tout le plan

Cette extension permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.

Cette extension a profondément changé les mathématiques et l'un des personnages qui a le plus contribué à ce changement est Bernard Riemann.

En 1859, Riemann s'intéresse à la fonction zêta en la considérant non comme une fonction des nombres réels mais comme une fonction du plan complexe.

• Il trouve une meilleure approximation de la répartition des nombres premiers • Il se rend compte qu'il est possible de transformer la fonction zêta en une description exacte de la répartition des nombres premiers

Cette transformation fait usage d'un secret spécial : les zéros de la fonction zêta.

Les zéros de la fonction zêta constituent la clé qui pourrait révéler l'ordre caché parmi des nombres premiers.

Comme la fonction zêta est définie sur l'ensemble des nombres complexes, sa représentation n'est pas une simple courbe mais une surface compliquée que Riemann réussit à prolonger sur tous les plans complexes à l'exception d'un point unique.

Au centre du paysage de la fonction zêta se dresse un pic vertigineux : l'image de 1 par la fonction zêta, dont la valeur est infinie.

Ce qui intéresse Riemann sont les zéros de la fonction, c'est-à-dire les points où la surface du graphe rencontre le plan d'origine où la fonction zêta s'annule.

• Les zéros triviaux : situés sur la ligne des nombres réels négatifs, qui n'intéressent personne • Les zéros non triviaux : inclus dans une zone critique appelée bande, où la partie réelle est comprise entre 0 et 1

Riemann découvre que tous les zéros non triviaux qu'il calcule sont alignés sur une droite à mi-chemin de la zone critique, celle qui correspond à une partie réelle égale à 0.5.

L'hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta sont alignés sur une droite à mi-chemin entre 0 et 1, à partie réelle égale à 0.5.

Si l'hypothèse est vraie, la distribution des nombres premiers devient un peu moins mystérieuse.

L'article contenant cette fameuse hypothèse a été publié en 1859 et depuis, la situation n'a pas beaucoup évolué. Riemann est mort à 39 ans sans avoir réussi à prouver son hypothèse.

• On a calculé par ordinateur des milliards de zéros, tous alignés sur la droite critique • Mais en mathématiques, aucune vérification expérimentale ne remplace une preuve • Malgré une quantité vertigineuse de tentatives, de résultats partiels et de faux espoirs, l'hypothèse reste non démontrée

L'hypothèse de Riemann reste une hypothèse, bien que la communauté mathématique la considère unanimement comme vraie.

À ce jour, le mystère de la répartition des nombres premiers n'est donc pas encore résolu.

Cela constitue une formidable opportunité : celui ou celle qui démontrera l'hypothèse ou sa négation gagnera immédiatement sa place au firmament des mathématiques mondiales.

Un défi lancé aux mathématiciens du monde pour résoudre ce mystère fascinant qui perdure depuis plus de 160 ans.