Les pavages du plan ou les maths du carrelage | Voyages au pays des maths | ARTE

Bienvenue au pays des maths, un endroit étrange où on croise des graphies hiérarchiques, des pavages semi-périodiques et des polytopes de dimension 4.

Un guide vous montre le paysage mathématique, avec pour seul équipement nécessaire un cerveau en état de marche.

Un beau matin de printemps, vous décidez de refaire le carrelage de votre salle de bain qui commence à dater.

Vous vous rendez au magasin de bricolage le plus proche, qui s'avère être au pays des mathématiques.

Un pavage du plan est la juxtaposition de polygones qui recouvre l'intégralité du plan sans jamais se chevaucher.

• Triangle équilatéral avec trois angles de 60 degrés • Carré avec quatre angles droits • Pentagone régulier avec cinq angles de 108 degrés • Décagone régulier et autres polygones à côtés multiples

À chaque jonction, la somme des angles doit être égale à 360 degrés pour que le pavage soit possible sans trou ni chevauchement.

Les pavages carré, triangulaire et hexagonal sont les seuls pavages réguliers qui existent.

Les pavages semi-réguliers permettent de mélanger plusieurs polygones réguliers qui se rejoignent toujours de la même façon.

• Pavage carré tronqué avec octogones et carrés • Pavage hexagonal adouci avec hexagones et triangles • Pavage hexagonal tronqué avec dodécagones et triangles • Pavage triangulaire allongé avec trois triangles et deux carrés

Dans le pavage carré tronqué par exemple, chaque sommet voit se rejoindre deux octogones et un carré, soit un angle droit plus deux fois 135 degrés, ce qui égale 360 degrés.

Il existe exactement 8 pavages semi-réguliers, pas plus.

N'importe quel quadrilatère, qu'il soit carré, rectangle, losange ou trapèze, peut former un pavage car la somme des quatre angles d'un quadrilatère est toujours de 360 degrés.

Les pavages formés par des quadrilatères offrent une gamme infinie de pavés, bien que tous aient un air de famille.

• Premier cas : hexagones avec deux côtés opposés parallèles et de même longueur • Deuxième cas : hexagones avec deux côtés opposés de même longueur dont l'un est entouré de côtés de même longueur • Troisième cas : hexagones avec trois paires de côtés égaux formant des angles de 120 degrés

Le rayon des pavés hexagonaux propose 3 variantes de pavages avec pour chacun une infinité de variations.

Dans sa thèse, le mathématicien allemand Karine Reinhardt décrit toutes les classes de pentagone qui permettent de paver le plan, en identifiant 5 types de pentagones non réguliers.

En 1968, l'Américain Richard Kirchner découvre trois nouvelles classes de pavages pentagonaux, affirmant que la liste est alors complète avec 8 pavages pentagonaux.

• En 1975, Martin Gardner publie un article sur les découvertes de Kirchner dans un magazine scientifique • Richard James découvre un neuvième pavage pentagonal • Marjorie Rice, sans formation mathématique, découvre 4 pavages supplémentaires en lisant le magazine de son fils

En 1985, Rolf Stein découvre une 14e classe ; en 2015, Casey Man et Jennifer McLoud découvrent la 15e famille ; en 2017, Michael Rao prouve que la liste est enfin complète avec 15 pavages pentagonaux.

Les pavages périodiques sont ceux pour lesquels il existe au moins une translation qui conserve le motif.

Aucune translation ne permet de retrouver le motif à l'identique, par exemple avec un rectangle au milieu d'une mer de carrés.

• Pavages quasi-périodiques de Penrose avec symétrie d'ordre 5 • Pavages aperiodiques avec la tuile de base en infinité d'orientations différentes • Pavages du plan hyperbolique, un espace à deux dimensions non-euclidiens comme le disque de Poincaré

Dans un plan hyperbolique, on peut paver avec n'importe quel polygone régulier et même avec des polygones ayant une infinité de côtés.

Légèrement sonné par les 15 gammes infinies de tuiles pentagonales et les diverses possibilités de pavages, vous commencez à balbuter quelque chose.

Le vendeur se méprend sur votre air désemparé et pense que vous cherchez quelque chose de plus exotique.

Le vendeur vous entraîne vers une porte menant à un hangar gigantesque présentant les pavages non périodiques et exotiques.

Vous finissez par dire très vite que vous allez prendre le damier en noir et blanc et demander un pot de colle.