La loi de Benford | Voyages au pays des maths | ARTE

Le pays des mathématiques est décrit comme un endroit exotique et déroutant où on parle une langue bizarre avec de nombreux concepts complexes comme le morphisme, les variétés différentielles.

• Paysages épiques et idées vertigineuses • Présence de choses utiles et pratiques • Un mélange entre complexité théorique et utilité concrète

Ne pas vraiment faire des mathématiques mais simplement jeter un œil aux paysages mathématiques, avec un guide et un cerveau en état de marche.

La balade commence dans un cadre de trivialité absolue, en bas de chez vous, où un phénomène mystérieux est en train de se dérouler.

En examinant cent articles aléatoires du supermarché et en notant le premier chiffre de leurs prix, on découvre une distribution étrange où les petits chiffres apparaissent plus souvent que les grands.

• Les petits chiffres (1, 2, 3) sont privilégiés par rapport aux grands (7, 8, 9) • Le hasard semble préférer les premiers chiffres bas • Le phénomène persiste peu importe la quantité d'articles examinés

Ce phénomène ne se limite pas aux prix : que les prix soient en euros, dollars ou roubles, la distribution des premiers chiffres reste identique.

D'où vient ce phénomène étrange? Pourquoi les supermarchés semblent-ils préférer les petits chiffres?

Le phénomène s'étend bien au-delà des supermarchés et apparaît dans des contextes complètement différents.

• Population des grandes villes • Chiffres d'affaires des sociétés du Nasdaq • Longueur des fleuves d'Europe • Distance entre les étoiles de la galaxie • Superficies des îles polynésiennes (de 1045 km² à 0,04 km²)

Peu importe les unités de mesure (kilomètres carrés, millions de dollars, centimètres, nombre d'habitants), le même schéma de distribution des premiers chiffres revient partout.

Ce phénomène généralisé soulève des questions vertigineuses : notre monde serait-il un simulacre comme Matrix? Un bug se serait-il glissé dans le programme?

Les habitants voient le monde en termes d'addition. Pour classifier un gorille (1,60 m), un chimpanzé (70 cm) et une fourmi (1 cm), ils mesurent les différences absolues et regroupent le chimpanzé avec la fourmi plutôt qu'avec le gorille.

Les habitants voient le monde sur le mode de la multiplication. Un gorille est 2,2 fois plus grand qu'un chimpanzé, qui est 70 fois plus grand qu'une fourmi. Ils regroupent naturellement le gorille et le chimpanzé.

• Decibels pour mesurer le volume sonore • Échelle de Richter pour mesurer les secousses sismiques • Portées de musique qui utilisent des graduations multiplicatives

Il existe deux façons absolument distinctes de mesurer le monde, et dans certains cas, la logique additive n'est pas la bonne.

En 1614, l'astronome et mathématicien écossais John Napier publie le Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, établissant une correspondance entre le monde de la multiplication et celui de l'addition.

• À chaque nombre on associe un autre nombre appelé son logarithme • Le logarithme de 100 est 2 (car 100 = 10²) • Le logarithme de 1000 est 3 (car 1000 = 10³) • Le logarithme de 981456 est 4,99324 (car 981456 = 10^4,99324)

Les tables de logarithmes permettent de simplifier les multiplications de grands nombres en les transformant en additions, accélérant énormément les calculs scientifiques du début du XVIIe siècle jusqu'à l'invention de l'ordinateur au XXe siècle.

Les logarithmes établissent le pont mathématique entre les deux visions du monde (additive et multiplicative) et sont intimement liés au phénomène observé au supermarché.

En 1880, l'astronome Simon Newcombe remarque que les premières pages des tables de logarithmes, où figurent les nombres commençant par le chiffre 1, sont plus usées que les autres.

Newcombe tire une formule donnant la probabilité qu'un chiffre n soit le premier chiffre d'un nombre quelconque, formule qui donne exactement la distribution étrange observée au supermarché.

La découverte de Newcombe n'intéresse personne jusqu'en 1938, quand Frank Benford redécouvre la loi, la teste sur un grand nombre de collections de chiffres et réussit à attirer l'attention de ses contemporains.

La loi porte maintenant le nom de Frank Benford, bien qu'elle ait été découverte en premier par Simon Newcombe en 1880.

Entre un paquet de pâtes à 1 euro et un paquet de biscuits à 2 euros, le prix a doublé. Entre un fromage à 9 euros et une bouteille à 10 euros, le prix n'augmente que de 11%. L'intervalle de 9 à 10 est donc plus petit que l'intervalle de 1 à 2 sur une échelle multiplicative.

Ce n'est pas la répartition des chiffres qui est bizarre ; c'est l'échelle additive avec laquelle on les regarde qui n'est pas bonne.

En passant l'échelle additive à une échelle multiplicative, on découvre que les chiffres sont répartis équitablement.

Le mystère du supermarché n'en était pas un ; c'est l'œil avec lequel on le regardait qui n'était pas le bon.

La loi de Benford ne s'applique pas à toutes les séries de chiffres. Par exemple, la taille d'un adulte mesuré en centimètres commence presque toujours par 1, ce qui ne suit pas la distribution.

Pour que la loi s'applique, il faut une série qui s'étend sur plusieurs ordres de grandeur.

Les services fiscaux se servent de la loi de Benford pour détecter la fraude fiscale. Si les chiffres de la comptabilité n'obéissent pas à la loi, c'est le signe qu'ils sortent de l'imagination.

Les chiffres inventés par le cerveau humain n'obéissent à aucune loi mathématique ; c'est justement par cette absence de régularité qu'on les reconnaît.