La conjecture de Poincaré | Voyages au pays des maths | ARTE

Le pays des mathématiques est un endroit exotique et déroutant où l'on parle une langue bizarrement remplie de termes comme homéomorphisme, variétés différentielles et nombres transfinis.

• Paysages épiques et idées vertigineuses • Contient des concepts utiles • Nécessite un guide pour être exploré

Il suffit d'un guide et d'un cerveau en état de marche pour explorer ce pays sans avoir besoin de faire réellement des mathématiques.

Jeter un œil au paysage mathématique plutôt que de résoudre des problèmes complexes.

La topologie est une région du pays des mathématiques où l'on étudie les propriétés fondamentales des espaces, distinct des paysages plus familiers de la géométrie.

Henry Poincaré, un immense mathématicien français du 19e siècle, a émis en 1904 une hypothèse portant son nom: la conjecture de Poincaré.

• Plusieurs générations de mathématiciens ont tenté en vain de la démontrer • En 2000, une fondation a offert 1 million de dollars à celui qui y parviendrait

La conjecture affirme que toutes les 3-variétés compactes, sans bord et simplement connexes sont homéomorphes à la sphère.

En topologie, les formes s'appellent des variétés et existent en plusieurs dimensions: variétés de dimension 1, de dimension 2, et même de dimension 42.

Deux objets sont considérés comme identiques si l'on peut déformer l'un vers l'autre sans déchirure ni collage. Un rond est aussi un triangle et un triangle est un carré.

• Une boule est aussi un cube • Une pyramide est aussi une soucoupe volante • Une pomme de terre est aussi un fer à cheval • Toutes ces formes peuvent s'obtenir l'une de l'autre par déformation

Les variétés qui peuvent se transformer l'une en l'autre par déformation sont dites homéomorphes, comme une boule et un cube ou un vase et une assiette.

Contrairement à ce qu'on pourrait penser, la sphère ordinaire n'a que deux dimensions. Pour un topologue miniaturisé à la taille d'une fourmi sur un ballon, la courbure devient imperceptible et le monde semble infini et plat.

Une sphère peut se représenter sous forme d'une carte plate appelée planisphère, qui reste une sphère au sens topologique même si elle est plate.

• Les côtés droits et gauche de la carte sont virtuels • Les côtés haut et bas sont des points: le pôle nord et le pôle sud • On peut avancer tout droit sans jamais rencontrer de bord • En marchant assez longtemps dans la même direction, on revient au point de départ

La sphère est sans bord et compacte, contrairement au plan géométrique qui s'étend à l'infini. Elle peut être incluse dans une sphère plus grande.

• Le tore a la forme d'un beignet, d'un cerceau ou d'une chambre à air • Il peut aussi bien être une bouée canard, une tasse ou un ballon en forme de A • Comme la sphère, c'est une variété à deux dimensions, sans bord et compacte

Le tore possède une différence fondamentale avec la sphère: il y a un trou au milieu du tore, ce qui n'existe pas sur la sphère.

L'outil infaillible pour le démontrer est le lasso topologique. Sur une sphère, en resserrant le lasso, il se réduit à un point. Sur un tore, le lasso passe dans le trou et ne peut pas être fermé complètement.

La sphère est simplement connexe car on ne peut pas la capturer avec un lasso topologique. Le tore n'est pas simplement connexe, ce qui les distingue fondamentalement.

• Les tores à 2, 3 ou plusieurs trous • Le ruban de Möbius qui n'a ni dessus ni dessous • La bouteille de Klein qui n'a ni intérieur ni extérieur

Pour un topologue, la question se pose naturellement: la sphère est-elle la seule variété de dimension 2 qui soit à la fois sans bord, compacte et simplement connexe?

En dimension 2, Poincaré a prouvé que seule la sphère était à la fois compacte, sans bord et simplement connexe.

La conjecture que Poincaré n'a pas réussi à démontrer affirme la même chose pour les variétés à trois dimensions: toutes les 3-variétés compactes, sans bord et simplement connexes sont-elles homéomorphes à la 3-sphère?

La 3-sphère n'est pas une surface comme la 2-sphère mais un volume. On peut s'y mouvoir dans les trois directions comme dans notre espace ordinaire.

Ce n'est pas non plus une boule ordinaire. La boule a un bord qui est justement la 2-sphère. La 3-sphère est un espace fini mais sans bord.

• En se déplaçant en ligne droite, on finit par revenir au point de départ • Comme dans une pièce où en sortant par la gauche, on rentrerait par le plafond • En sortant par le plancher, on rentrerait par la droite

Ce drôle de monde sans bord mais pas infini pourrait correspondre à la forme de notre univers.

• En l'an 2000, le Clay Mathematics Institute a choisi sept problèmes du millénaire • La conjecture de Poincaré faisait partie des élus • Une prime d'un million de dollars a été offerte pour la résolution de chacun des sept problèmes

En 2002, après 7 ans de travail solitaire, le mathématicien russe Grigori Perelman affirme avoir démontré la conjecture de Poincaré.

Plutôt que de soumettre sa démonstration à un journal scientifique, Perelman se contente de poster sur internet un texte de 40 pages tellement complexe et elliptique qu'il faudra 4 ans à la communauté mathématique pour le comprendre.

• En 2006, on lui offre la médaille Fields qu'il refuse • En 2010, la fondation Clay lui offre le million de dollars promis qu'il refuse également • Il explique que l'argent et la célébrité ne l'intéressent pas • Pour Perelman, la seule vraie récompense est d'avoir ajouté son nom à celui de Poincaré