Pique-nique sur le plan complexe | Voyages au pays des maths | ARTE

Le pays des mathématiques est un endroit exotique et déroutant où on y parle une langue bizarre avec des concepts comme morphisme de variétés et différentiel

• Paysages épiques • Idées vertigineuses • Choses utiles

Il faut un guide et un cerveau en état de marche pour visiter. On ne va pas vraiment faire de maths, juste jeter un oeil aux paysages

La sieste à l'ombre après une longue randonnée dans la jungle des nombres, notamment en observant un hamac dont le profil ressemble à une parabole

Pour une fonction du deuxième degré, si on représente x sur l'axe horizontal et f(x) sur l'axe vertical, le graphe obtenu sera une parabole

• Aux endroits où la parabole coupe l'axe horizontal se trouvent les racines de f • Pour certaines valeurs des paramètres, la parabole passe au-dessus de l'axe horizontal • Une équation de degré 2 a toujours deux solutions, parfois des solutions complexes

Quand la parabole ne coupe pas l'axe horizontal, il semble n'y avoir plus de solutions réelles, d'où la question : qu'est-ce qu'une solution complexe exactement?

Impossible de faire une sieste avec une question qui trotte dans la tête, d'où la décision d'organiser un pique-nique sur le plan complexe

L'Italie du 16e siècle voit les mathématiques se mêler à l'astronomie, l'astrologie, la mécanique et d'autres domaines

• Mathématicien gagne sa vie comme médecin • Devient célèbre comme astrologue • Invente le calcul des probabilités pour gagner aux cartes • Publie des dizaines d'ouvrages sur sujets variés

En 1545, dans son traité Ars magna, Cardan révèle comment résoudre une équation du troisième degré. Cependant, sa formule produit des résultats bizarres quand elle implique la racine carrée d'un nombre négatif

Les mathématiciens du 16e siècle, comme en Grèce antique, ne prennent au sérieux un objet mathématique que s'il possède une représentation géométrique. Puisqu'il n'y a pas de carré négatif, les équations contenant des racines de nombres négatifs sont classées comme irréductibles et abandonnées

René Descartes baptise les nombres étranges qui ne sont pas réels et qui résultent de l'extraction de racines carrées de nombres négatifs

• Mathématicien autant que philosophe • Invente la notation où x et y sont les inconnues et a, b, c les paramètres • Classe les solutions en trois catégories : vraies (positives), fausses (négatives), et irréductibles

Les vraies solutions correspondent aux longueurs physiques. Les fausses solutions sont négatives. Les cas irréductibles de Cardan contiennent des racines carrées de nombres négatifs et sont appelés solutions imaginaires

Les solutions imaginaires n'ont qu'une existence purement virtuelle. Pourtant, les équations ramènent sans cesse à ces entités imaginaires qui peuvent s'écrire comme des multiples de la racine carrée de -1

Le mathématicien suisse Leonhard Euler se résout à accepter la présence des nombres imaginaires en utilisant la notation i pour imaginaire

i égale la racine carrée de -1. Cette notation permet de manipuler systématiquement ces nombres

Euler utilise cette notation sans parvenir à clarifier le mystère de l'existence de ces nombres imaginaires

Pourquoi ne pas abandonner simplement ces nombres imaginaires qui n'ont pas de sens? La réponse réside dans le concept de clôture

Un ensemble est clos pour une opération donnée quand cette opération ne nous fait jamais sortir de l'ensemble. Par exemple, l'addition de deux entiers naturels donne toujours un entier naturel

• La soustraction ne marche pas avec les entiers naturels, d'où l'invention des nombres négatifs • La racine carrée d'un nombre réel négatif n'appartient pas à l'ensemble des réels • Les réels ne sont pas clos pour l'opération racine

Quand une opération nous fait sortir d'un ensemble, il y a une fuite. Pour colmater cette fuite concernant les racines, on doit passer par les nombres imaginaires

Les nombres imaginaires ne sont pas une curiosité abstraite mais une extension nécessaire pour maintenir la clôture mathématique

En 1796, Caspar Wessel, auteur de la première carte précise du Danemark, soutient une thèse de mathématiques l'année suivante à 51 ans. Cette thèse passe inaperçue en Europe

Wessel découvre la signification géométrique des nombres imaginaires

• Sur l'axe horizontal, les nombres sont représentés comme des vecteurs partant de zéro • La multiplication par un nombre négatif inverse la direction, effectuant une rotation de 180 degrés • Pour qu'un nombre devienne négatif en se multipliant par lui-même, il doit être à mi-chemin du virage de 180 degrés

Pour que ce nombre étrange existe, le domaine des nombres doit s'étendre dans une seconde dimension, sur un axe perpendiculaire à celui des nombres habituels. Les nombres échappent à la droite et envahissent le plan

Trente ans après Wessel, le grand mathématicien allemand Karl Friedrich Gauss baptise plan complexe cette nouvelle entité mathématique

Nous voilà enfin au plan complexe, le moment de sortir le pique-nique et d'observer comment ça marche

• Les nombres complexes sont composés de deux parties distinctes : une partie réelle et une partie imaginaire • Ces deux parties définissent ensemble un point sur le plan

• Pour additionner des nombres complexes, on les met bout à bout • Pour les multiplier, on additionne les angles et on multiplie les longueurs • Multiplier par i fait tourner de 90 degrés, et i au carré égale -1

• Tous les nombres complexes possèdent invariablement des racines carrées • Ces racines n'échappent jamais à l'ensemble des complexes • L'ensemble des complexes est bien clos pour l'extraction de racine

En appliquant la fonction aux nombres réels, on obtient la parabole qu'on connaît déjà. Mais en l'appliquant aux nombres complexes, notre graphe se déploie dans un espace à quatre dimensions

Le hamac multicolore montre comment la fonction possède toujours deux solutions. Pour certaines valeurs des paramètres, ces solutions sont réelles. Pour d'autres, elles deviennent des solutions imaginaires ou complexes

Notre mathématicienne avait raison : une équation de second degré a toujours deux solutions, mais ce sont parfois des solutions imaginaires ou complexes

Imaginaire est un nom décidément mal choisi pour des objets dont ni la physique ni les mathématiques ne peuvent plus passer

De Jérôme Cardan à Karl Friedrich Gauss, il aura fallu trois siècles pour parvenir à accepter et comprendre les nombres imaginaires

Trois siècles, c'est peu de chose à l'échelle du très long dialogue entre les mathématiciens et les objets mathématiques qui dure déjà depuis des millénaires

Ce pique-nique sur le plan complexe montre comment une question mathématique a progressivement mené à l'acceptation et à la compréhension d'une nouvelle classe de nombres fondamentale pour les mathématiques modernes