Alicia Boole au pays des polytopes | Voyages au pays des maths | ARTE

Invitation à explorer le pays des mathématiques, un endroit étrange peuplé de graphes hiérarchiques, pavages semi-périodiques et polytopes de dimension 4.

• Un guide (le narrateur) • Un cerveau en état de marche

Le monde des mathématiques contient des objets et des formes complexes et fascinantes à découvrir.

Comprendre et explorer les formes géométriques régulières et leurs propriétés.

Les mathématiciens aiment les triangles, carrés et pentagones, appelés polygones réguliers.

Le carré, tourné d'un quart de tour, coïncide avec lui-même et est bourré de symétrie.

La symétrie est fondamentale en mathématiques et attire les mathématiciens.

Pour les formes qui peuplent l'espace, on entre dans le domaine des polyèdres, passant de la dimension 2 à la dimension 3.

Alicia Boole, petite fille jouant avec des polyèdres plutôt que des peluches.

Sa mère Marie Everest Boole, mathématicienne et pédagogue, dont le nom réunit le mont Everest et l'algèbre de Boole.

• Mari de sa mère, George Boole, inventa l'algèbre de Boole • Oncle de sa mère, pour qui le mont Everest a été nommé

Dès qu'elle peut attraper, Alicia manipule des cubes et les quatre autres polyèdres réguliers.

• Tétraèdre : quatre faces • Exaèdre (cube) : six faces • Octaèdre : huit faces • Dodécaèdre : douze faces • Icosaèdre : vingt faces

Les polyèdres réguliers sont appelés solides platoniciens car Platon les associait aux éléments fondateurs de la nature : terre, air, eau et feu.

Le suffixe grec 'èdre' signifie face, d'où les noms de ces polyèdres.

Jusqu'à ce point, tout va pour le mieux dans le meilleur des mondes platoniciens.

En 1880, Mary Boole, sœur d'Alicia, épouse Charles Howard Hinton, mathématicien et écrivain de science-fiction obsédé par les dimensions supérieures.

La famille Boole lit Flatland, un livre décrivant un monde plat peuplé d'êtres géométriques de dimension 2, sans notion de haut ou bas.

• Le statut est proportionnel au nombre de côtés • Les triangles sont ouvriers • Les cercles appartiennent au clergé • Les femmes sont réduites à des segments de droite

Alicia Boole, femme ne pouvant pas accéder aux études universitaires, a sans doute apprécié cette plaisanterie sur les limites sociales.

Flatland raconte comment un ambassadeur de dimension 3 apparaît aux habitants plats uniquement par tranches.

• Si l'ambassadeur est un cube : un carré surgit puis disparaît • Si le cube arrive de biais : un triangle apparaît, grossit, devient hexagone, puis disparaît

Les habitants de Flatland, sans notion de dimension 3, ont du mal à interpréter ces visions par tranches.

Un habitant de Flatland parvient à s'arracher au monde plat et découvre les merveilles de la 3ème dimension, ce qui lui donne l'idée qu'une dimension 4 pourrait exister.

Comment comprendre et visualiser les objets réguliers qui existent en dimension 4 ? C'est la question qui occupera Alicia Boole pour le reste de ses jours.

Déplier le volume pour l'aplatir et ramener trois dimensions dans les deux dimensions du plan, comme un patron de cube.

Un objet en volume ne peut pas pénétrer entièrement le plan mais peut y projeter une ombre, appelée mathématiquement une projection.

En observant le squelette d'un cube qui tourne dans l'espace, on peut compter ses 8 sommets et 12 arêtes, puis appliquer cette expérience aux objets de dimension 4.

L'hypercube est le cousin en dimension 4 du cube que nous connaissons.

Un hypercube peut être déplié en 8 cubes pleins, qui sont ses faces en dimension 3, formant le patron de l'hypercube.

• Si l'hypercube pénètre notre univers orthogonalement : un cube surgit et disparaît • Si l'hypercube pénètre de biais : des formes plus complexes apparaissent

Alicia Boole s'avère exceptionnellement douée pour visualiser ces formes et construit même des modèles en carton des différentes étapes.

Découvrir l'équivalent des solides platoniciens dans la dimension supérieure : les polytopes réguliers ou les stars de la géométrie 4D.

Il existe un polytope régulier de plus qu'en dimension 3, donc 6 polytopes réguliers en dimension 4.

• Hypercube • Pentacore : cinq faces qui sont des tétraèdres • Hexacocycore : faces qui sont des tétraèdres, mais il en possède 600

Ce patient travail entrepris à 20 ans sera récompensé par un doctorat honoris causa en 1914, alors qu'Alicia a 54 ans.

• Toute sa carrière s'est déroulée hors des institutions • Sans accès à l'université • Sans contacts professionnels qui auraient pu aider à ses découvertes

Un mathématicien suisse, Ludwig Schlefli, avait fait les mêmes découvertes 30 ans plus tôt.

Les articles de Schlefli ont mis 50 ans à être publiés, car la nécessité d'identifier et décrire les polytopes en dimension 4 ne semblait pas suffisante aux éditeurs pour justifier une publication de 240 pages.

Alicia Boole a reçu son doctorat honoris causa sans savoir que ses découvertes avaient déjà été faites ailleurs.

À quoi sert de se projeter dans la dimension 4 ?

Une mathématicienne citerait sans doute un tas d'applications pratiques.

• Le monde est plus vaste et plus compliqué que ce qu'on aperçoit depuis notre coin de réalité • Il existe d'autres univers auxquels on peut accéder par l'esprit

Réduire une personne à son genre, sa classe sociale ou son métier, c'est se priver de rencontrer toutes ses dimensions.