Flâneries infinitésimales | Voyages au pays des maths | ARTE

Le pays des mathématiques est un endroit exotique et déroutant où on parle une langue bizarre avec des concepts comme les morphismes, les variétés différentielles et les transfuges.

• Paysages épiques et idées vertigineuses • Des choses parfois utiles • Combinaison de concepts complexes et fascinants

Une visite express au pays des maths guidée par le présentateur, sans faire réellement des maths mais en jetant un œil aux paysages.

Il suffit d'un guide et d'un cerveau en état de marche pour explorer ce monde fascinant.

La vitesse est une notion si banale aujourd'hui qu'on a presque oublié que c'était une idée mathématique, alors qu'il y a trois ou quatre siècles elle n'existait pas ou était très mal définie.

• Les mathématiques faisaient partie de la philosophie • Le monde décrit était géométrique, parfait et immobile • Solides réguliers, constantes absolues et vérités éternelles

Le philosophe du 5e siècle avant Jésus-Christ invente des paradoxes prouvant que le mouvement est impossible : une flèche observée à un instant précis occupe une position définie et est donc immobile, et comme la durée est une succession d'instants, la flèche ne bouge pas réellement.

Ce paradoxe empêche les philosophes de l'antiquité de dormir et montre que la notion de vitesse ne va pas de soi.

Depuis la Renaissance, le mouvement s'est glissé sournoisement dans le paysage des mathématiques grâce à l'idée du calcul infinitésimal.

• Étudiant à Cambridge dans les années 1660 • Apprend la philosophie naturelle (mathématiques, physique, sciences de la terre et du vivant, astronomie) • S'intéresse particulièrement aux mouvements des planètes • Pense que comprendre le mouvement d'une pomme serait un premier pas pour comprendre celui des corps célestes

Pour décrire mathématiquement le mouvement complexe, Newton invente un objet mathématique nouveau qu'on appellera plus tard une dérivée, permettant de calculer la vitesse instantanée.

On trace un graphe associant à chaque instant t la hauteur h de la pomme, créant une parabole. La vitesse correspond à la pente de la droite reliant deux positions, et en diminuant la distance entre les deux points, on s'approche infiniment près de la vitesse instantanée sans y parvenir jamais tout à fait.

En approchant infiniment près, on obtient la tangente à la courbe, et c'est la pente de cette tangente qui représente la vitesse instantanée.

• La vitesse commence très forte avec une pente forte • Elle diminue régulièrement jusqu'à atteindre zéro au sommet de la trajectoire • Elle change de sens et devient négative

La courbe de la vitesse est plus simple que celle de la position : la position dessine une parabole tandis que la vitesse forme une droite.

Si f est la fonction décrivant le mouvement de la pomme, on associe une nouvelle fonction f prime appelée dérivée, qui mesure à chaque instant la quantité de changements de f.

L'opération de dérivation s'applique aux pommes et aux flèches mais pas seulement : on peut calculer la dérivée d'une multitude de fonctions.

• Physique et aéronautique • Économie (taux de rendement de livrets d'épargne) • Épidémiologie (vitesse de propagation d'une épidémie) • Thermodynamique (refroidissement du café)

Newton a commencé par les pauvres et les pommes, ce qui l'a amené à inventer un nouveau domaine des mathématiques qu'on appellera plus tard l'analyse, permettant à la science de son époque de faire un grand pas en avant.

Newton attend plus de vingt ans avant de publier ses résultats mathématiques, et à sa publication en 1693, il découvre que Gottfried Wilhelm Leibniz, un philosophe mathématicien allemand, a déjà publié à peu près la même chose.

Le camp anglais accuse Leibniz de plagiat tandis que le camp allemand considère que Newton, arrivé second, est un mauvais perdant.

• Pour Leibniz, les corps célestes se déplacent car ils sont entraînés par un courant invisible appelé matériels • Pour Newton, le mouvement des astres et des pommes résulte d'une force à distance mystérieuse : la gravitation

Leibniz est en fait le plus matérialiste des deux, tandis que Newton, aussi révolutionnaire que soit sa science, garde un pied dans le monde ancien, ce qu'illustre sa passion pour l'alchimie.

Le calcul différentiel a deux pères putatifs, auquel il faudrait d'ailleurs ajouter toute une série de portraits si on voulait vraiment rendre justice à chacun.

Pourquoi s'arrêter à la dérivée première ? On peut extraire la dérivée de la dérivée pour obtenir ce qu'on appelle une dérivée seconde.

La courbe de la vitesse est une droite, donc sa tangente se confond avec elle et la pente de sa tangente est toujours la même.

La dérivée de la vitesse est représentée par une droite horizontale correspondant à une constante, ce qui mesure l'accélération.

• Le mouvement complexe de la pomme résulte d'une accélération constante • Cet accélération s'applique à tous les objets terrestres • La gravitation de Newton révèle cette force dans les années suivantes

Derrière la complexité du réel, la dérivation permet de découvrir des régularités cachées derrière l'agitation des objets.

• Derrière les trajectoires complexes, elle fait voir la gravitation terrestre immuable • Elle transforme l'incompréhensible en régularités mathématiques

Quelque part, Zénon d'Élée avait raison : regardée attentivement, derrière le mouvement il y a du fixe.

La dérivation révèle que la complexité apparente du mouvement cache des principes mathématiques simples et immuables.