Le théorème de Gödel | Voyages au pays des maths | ARTE

Le pays des mathématiques est un endroit exotique et déroutant où on parle un langage bizarre rempli de concepts complexes comme le morphisme de variétés différentielles.

Effectuer une visite express au pays des maths sans faire réellement des mathématiques, juste jeter un œil aux paysages épiques et aux idées vertigineuses.

• Un guide pour conduire le voyage • Un cerveau en état de marche chez le visiteur

En route pour explorer les paysages mathématiques et découvrir des idées vertigineuses et parfois des choses utiles.

La vérité et la preuve sont des choses différentes. Le concept de vérité lui-même n'est pas si simple qu'il y paraît.

• Epiménide le Crétois affirme qu'il est un menteur, créant un paradoxe insoluble • Si c'est vrai, c'est un mensonge donc c'est faux, mais alors c'est vrai et donc c'est faux • Les Grecs avaient inventé diverses sortes de paradoxes désagréables

• Peut-on prouver que deux et deux font quatre ? Oui • Peut-on prouver qu'ils font cinq ? Non • Peut-on prouver qu'on ne peut pas le prouver ? C'est plus compliqué

Ces paradoxes nous font douter du caractère absolu de la vérité et soulèvent des questions fondamentales sur la nature même de la certitude mathématique.

Au début du 20e siècle, le centre des mathématiques mondiales se situe à l'université de Göttingen où David Hilbert règne en maître.

La théorie des ensembles perturbe les mathématiciens en soulevant des paradoxes qui évoquent le paradoxe du menteur et semblent remettre en cause les fondements des mathématiques.

• Hilbert propose d'axiomatiser les mathématiques • Un axiome est quelque chose d'évident qu'il n'est pas nécessaire de prouver • Les axiomes sont les ingrédients de base de la cuisine mathématique • À partir des axiomes, on applique des règles d'inférence pour démontrer des théorèmes

Au lieu d'utiliser l'intuition, Hilbert propose d'employer mécaniquement les axiomes avec des règles explicites, en remplaçant les mots comme point, droite et plan par des termes arbitraires pour éviter toute subjectivité.

Il faut se débarrasser de l'imprécision du langage naturel. Autour de 1900, les mathématiques effectuent la transition vers un langage symbolique.

Au lieu d'écrire 'est premier un nombre qu'on ne peut diviser que par lui-même et par un', les mathématiciens utilisent une formule symbolique qui affirme la même chose en évitant toute ambiguïté.

• Grâce à la méthode axiomatique et à la formalisation, venir à bout des paradoxes • Chasser les menaces qui planent sur l'édifice des mathématiques • Établir la cohérence et la complétude de l'arithmétique

Hilbert imagine une boîte contenant tous les énoncés mathématiques possibles. À partir des axiomes, on peut démontrer certains énoncés et en réfuter d'autres, avec l'espoir que tout ce qui est vrai soit aussi démontrable.

• Prouver que les mathématiques et l'arithmétique sont cohérentes, c'est-à-dire qu'on ne peut pas à la fois démontrer et réfuter une même chose • Prouver que les mathématiques sont complètes, c'est-à-dire que tout ce qui est vrai est aussi démontrable

Hilbert imagine que la boîte des énoncés mathématiques est séparée par une cloison étanche qui distingue le vrai du faux. Si on choisit bien les axiomes, les théorèmes peuvent remplir entièrement la boîte du vrai.

Le 8 septembre 1930, David Hilbert prononce à Königsberg une conférence radiodiffusée où il réaffirme sa foi inébranlable dans la science et déclare : 'N'existe rien qui ne pourra être connu. Notre slogan doit être : nous devons savoir et nous saurons.'

Hilbert ne sait pas que la veille de sa conférence, un jeune logicien de 24 ans, Kurt Gödel, a présenté un résultat qui va balayer ces certitudes.

Kurt Gödel, un jeune logicien de 24 ans élevé à Vienne, affirme que concernant l'arithmétique, le démontrable ne pourra jamais occuper tout le champ du vrai.

Pour prouver cette affirmation extravagante, les maths doivent pouvoir prendre pour objet leurs propres énoncés. Or, la phrase qui parle de démonstration appartient à la métamathématique, pas à l'arithmétique elle-même.

• Gödel invente un système de codage qui transforme en nombres les énoncés arithmétiques • On associe à chaque symbole mathématique un chiffre • Les énoncés et démonstrations arithmétiques sont codés par des suites de chiffres • À chaque énoncé on associe un nombre, le codage permettant de reconnaître s'il code un énoncé démontrable

Cette opération étrange permet d'utiliser l'arithmétique pour parler de ses propres énoncés, ce qui n'était pas possible auparavant.

Gödel construit une proposition très particulière, appelée G, qui affirme : 'Il n'existe pas de preuves de G'. On glisse ainsi une variante du paradoxe du menteur au sein de l'arithmétique.

• Si G est fausse, alors Gödel l'a démontrée, ce qui rend l'arithmétique incohérente • Si G est vrai, alors elle ne peut pas être démontrée

Les mathématiciens se trouvent confrontés à un choix douloureux : soit l'arithmétique est incohérente et peut démontrer des choses fausses, soit elle est incomplète et il existe des choses vraies qu'elle ne peut pas démontrer.

C'est le premier résultat limitant de l'histoire des mathématiques. Pour les mathématiciens de 1930, c'est une surprise énorme et d'autant plus dérangeante que la bulle du démontrable ne pourra jamais occuper tout l'espace des propositions vraies.

Gödel publie ses résultats en 1931 et ajoute un deuxième théorème : parmi les énoncés indémontrables de l'arithmétique figure la cohérence de l'arithmétique elle-même.

L'arithmétique est cohérente, mais on ne pourra jamais le démontrer avec les seuls moyens de l'arithmétique. C'est précisément l'objet même du programme de Hilbert qui s'effondre.

• L'existence de propositions indécidables est aujourd'hui bien établie • Notamment en théorie des ensembles, plusieurs questions importantes et naturelles sont indécidables • Les mathématiciens des années 30 ont d'abord eu du mal à accepter ce résultat

Ce théorème établit une limite fondamentale : aucun système formel cohérent ne peut être à la fois cohérent et complet.

Gödel fuit l'Autriche nazie en 1939 et émigre aux États-Unis où Albert Einstein devient l'un de ses seuls amis.

Progressivement ses préoccupations basculent des mathématiques à la philosophie. Il développe un mysticisme qu'il mélange de façon très personnelle avec la logique mathématique.

• Gödel imagine une preuve logique de l'existence de Dieu en cinq axiomes et quatre théorèmes • Ce résultat aurait certainement embarrassé Don Juan, qui pensait remplacer la religion par les mathématiques

Entre ce qui est vrai, ce qu'on peut démontrer, ce qu'on croit et ce qu'on croit pouvoir démontrer, la vérité est une chose trop sérieuse pour la confier entièrement aux théories mathématiques.