Le problème de Monty Hall ou les probabilités changent de porte | Voyages au pays des maths | ARTE

Visite express au pays des mathématiques, un endroit étrange où on croise des graphies hiérarchiques, des pavages semi-périodiques, des polytopes de dimension 4 et des choses utiles.

Au laboratoire de psychologie probabiliste de l'Université de Hasardville, des mathématiciens se penchent sur le sujet particulièrement casse-gueule du hasard.

• Les premières tentatives datent du 16e siècle avec Jérôme Cardan et son livre Liber de Ludo Allait • Au début du 20e siècle, Andreï Kolmogorov a fait entrer les probabilités dans l'ère moderne

Les mathématiciens ont entrepris de décrire le hasard en termes mathématiques, ce qui s'appelle la théorie des probabilités.

On attribue à la probabilité d'un événement une valeur numérique comprise entre 0 et 1, où 0 signifie impossible et 1 signifie certain.

• Pour une pièce équilibrée : probabilité de face = probabilité de pile = 0,5 • Pour un dé : probabilités de tirer 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sont les mêmes = 1/6 soit 0,166666

Deux événements A et B peuvent avoir lieu en même temps, par exemple une carte peut être à la fois un valet et un trèfle. On peut calculer la probabilité de A et B ainsi que celle de A ou B.

Grâce aux probabilités, le hasard semble domestiqué et permet de calculer des probabilités conditionnelles pour trouver les liens cachés entre deux événements.

Les probabilités conditionnelles permettent de trouver comment un événement A influence-t-il un événement B, notée P(B|A).

Si on trouve le chat chez soi en rentrant, quelle est la probabilité que j'ai laissé la fenêtre ouverte ? Événement A : fenêtre ouverte, Événement B : chat dans la maison.

Découverte au 18e siècle par le révérend Thomas Bayes : P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

Avec les données P(fenêtre ouverte) = 0,5, P(chat) = 0,33, P(chat|fenêtre ouverte) = 0,5, on obtient P(fenêtre ouverte|chat) = 0,75, soit 75% de chances.

• Plateau d'un jeu télévisé américain des années 70 • Trois portes : derrière l'une une Cadillac flambant neuve, derrière les deux autres une chèvre • Le joueur choisit une porte au hasard avec une chance sur trois de gagner

Au lieu d'ouvrir la porte choisie, Monty ouvre l'une des deux autres portes et montre qu'il y a une chèvre derrière. Il propose alors au joueur de modifier son choix.

La porte B étant éliminée, il reste deux portes avec des probabilités de gain de 50% chacune, donc il ne sert à rien de modifier son choix.

Est-ce qu'on a intérêt ou pas à profiter de la proposition de Monty et changer de porte ?

En appliquant le théorème de Bayes, sachant qu'il y a une chèvre derrière la porte B : chances de 1/3 pour la porte A choisie initialement et 2/3 pour la porte C.

L'intuition ne donne pas la réponse correcte. Il faut changer de porte pour augmenter ses chances de gagner de 1/3 à 2/3.

En 1990, la journaliste Marilyn vos Savant a présenté le problème et la solution, ce qui a généré un tsunami de courrier. En refaisant l'expérience plusieurs fois, on constate que les gains sont effectivement plus nombreux en changeant de porte.

• Une vaste majorité des 10 000 lettres reçues contestait la solution proposée • Certaines lettres étaient signées de mathématiciens éminents suggérant à la journaliste de mieux se documenter

• Si on choisit la porte A, un seul cas sur trois va faire gagner • Si on change de porte, on ne perd que dans le cas où on avait deviné juste au début • Dans les deux autres cas, on gagne car c'est comme si Monty nous donnait la possibilité d'ouvrir les deux autres portes

Présenté de cette façon, le problème perd son aspect paradoxal. On augmente bien ses chances en changeant de porte.

Le calcul des probabilités décrit un monde subjectif qui dépend de l'information dont dispose l'observateur. L'apparente équivalence entre les deux portes est une illusion d'optique.

• Certains mathématiciens qui avaient écrit à Marilyn vos Savant ont fini par reconnaître leur erreur, mais d'autres n'ont jamais voulu le faire • Paul Erdős, l'immense mathématicien hongrois, n'a jamais tout à fait accepté ce résultat • Nos cerveaux ne sont tout simplement pas câblés pour faire des probabilités