Les nombres irrationnels | Voyages au pays des maths | ARTE

Le pays des mathématiques est un endroit exotique et déroutant avec une langue bizarre et des concepts complexes comme la morphologie des variétés différentielles.

Une visite express au pays des maths pour jeter un œil aux paysages sans faire vraiment de mathématiques, guidée par un présentateur avec un cerveau en état de marche.

La région offre des paysages épiques, des idées vertigineuses et parfois des choses utiles, loin de la familiarité rassurante de l'école.

Le voyage commence par une question fondamentale sur la nature des nombres et leur reconnaissance.

Les entiers naturels sont les nombres les plus anciens et familiers, utilisés pour compter les têtes de bétail ou les invités du dîner.

• Solides, fiables et sans histoire • Représentables comme des encoches sur un bateau ou des pics sur une chaîne de montagnes infinie • Regroupés dans l'ensemble N (grand N)

L'addition et la multiplication restent dans l'ensemble N, tandis que la soustraction introduit les nombres négatifs et l'ensemble Z des entiers relatifs.

Au Ve siècle avant notre ère, une religion du nombre émerge avec Pythagore, qui considère l'entier comme le principe de toute chose.

La division complique le tableau car son résultat tombe souvent en dehors de l'ensemble Z, créant le besoin de décrire le tiers de 2 ou la moitié de 5.

Les fractions et les nombres à virgule permettent de décrire les résultats de la division.

L'ensemble Q des nombres rationnels émerge, très différent de l'ensemble N car il est dense : quel que soit l'endroit où on zoome, une infinité de rationnels apparaît.

Les nombres rationnels expriment le rapport entre deux entiers et, bien que moins présentables que leurs cousins entiers, font partie de la famille mathématique.

Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.

• Pour un triangle rectangle isocèle de côté 1, la longueur de l'hypoténuse est racine de 2 • Les disciples de Pythagore découvrent et prouvent que racine de 2 ne peut pas s'écrire comme une fraction • La diagonale du carré est un monstre qui échappe aux ratios

Les irrationnels échappent à la fois aux calculs et à la raison, bouleversant la vision du monde pythagoricienne selon laquelle le nombre entier est le principe de toute chose.

La légende raconte que le disciple qui révéla l'existence des irrationnels fut jeté à la mer par ses condisciples, car l'inexprimable devait rester absolument secret.

Les mathématiciens arabes, notamment Al-Khwarizmi au IXe siècle, comprennent que les irrationnels sont nécessaires pour résoudre les équations de degré 2 et plus.

Les irrationnels doivent être considérés comme des objets mathématiques à part entière, pas comme des monstres ou des erreurs.

À partir du XVIIe siècle, la notation par fractions est progressivement supplantée par la notation décimale, permettant d'écrire autrement les fractions et les racines.

Contrairement aux rationnels dont l'écriture décimale finit par se répéter en boucle, celle des irrationnels est une suite infinie de chiffres sans ordre apparent.

• Isaac Newton considère les irrationnels comme des nombres véritables • Blaise Pascal et l'Encyclopédie de Diderot et d'Alembert leur refusent ce statut • Newton finit par l'emporter dans le débat

Un nombre était rationnel si et seulement si son développement décimal est infini mais périodique, tandis que les irrationnels ont un développement infini sans périodicité.

Au XIXe siècle, la notion de nombre réel s'impose, regroupant rationnels et irrationnels dans un même ensemble R, qui devient le paysage ordinaire de l'algèbre.

Georg Cantor prouve que les irrationnels sont infiniment plus nombreux que les rationnels, et si on choisit un point sur la droite au hasard, la probabilité de trouver un nombre rationnel est nulle.

Au sein des irrationnels, tous ne sont pas égaux : ceux rencontrés le plus souvent dans la vraie vie sont solutions des équations algébriques.

• Racine de 2 est solution de x au carré moins 2 égal 0 • Ce nombre qui est solution de 7x cube moins 18 égal 0 • Celui-ci solution de 19x au carré moins 5x plus 3 égal 0

Les nombres algébriques sont les irrationnels les plus accessibles et possèdent leur propre ensemble désigné par le symbole Q barre.

À l'extérieur de cet ensemble, dans les régions les plus reculées de l'ensemble des réels, existent des nombres qui ne sont la solution d'aucune équation algébrique : les nombres transcendants.

• e, la constante à la base des logarithmes naturels • π, la star incontestée des nombres transcendants • π connu depuis le XVIIe siècle avant notre ère, prouvé irrationnel en 1761 et transcendant en 1882

Si on choisit un point au hasard sur la droite des réels, la probabilité de tomber sur un nombre qui ne soit pas transcendant est nulle : l'immense majorité des nombres sont irrationnels et transcendants.

À part quelques exceptions comme π, les nombres transcendants ne peuvent être décrits qu'en énumérant la suite infinie de leurs décimales, les plaçant hors de notre atteinte.

Le voyage se termine dans une grotte infinie et obscure où flottent la quasi-totalité des nombres, inconnus et pour toujours inconnaissables.

En 1933, David Champernowne, mathématicien anglais, invente un nombre étrange en collant bout à bout la succession infinie des entiers naturels.

• Le nombre est irrationnel et transcendant • C'est un nombre univers selon Jean-Paul Delahaye • Il contient toutes les séquences de chiffres finies possibles

Comme toute information peut être transposée en suite de nombres, un nombre univers contient tous les livres écrits ou à écrire, ainsi que tous les films, images et chansons de l'univers.

Depuis 1909, on sait que presque tous les nombres réels sont des nombres univers : la probabilité de tomber sur autre chose est nulle, ce qui rend les nombres de l'école primaire infinitésimaux dans un océan de nombres univers.