La toupie de Kovalevskaïa | Voyages au pays des maths | ARTE

Visite express au pays des Mathématiques, un endroit étrange où on croise des graphes hiérarchiques, des pavages semi-périodiques et des polytopes de dimension 4.

Un guide expérimenté et un cerveau en état de marche suffisent pour explorer ce paysage fascinant.

Comment décrire le mouvement d'une pomme de terre dans l'espace? Cette question en apparence oiseuse ouvre la porte à des mathématiques très générales et utiles.

Depuis que Newton a découvert ses lois, on utilise les mathématiques pour décrire le mouvement, mais le monde newtonien des masses ponctuelles ne correspond pas à la réalité des objets qui tournent.

Léonard Euler, l'un des mathématiciens les plus influents et prolifiques de son temps avec 866 publications, pose la question au milieu du 18e siècle.

Qu'advient-il d'un corps solide quelconque (une patate) jeté au hasard dans le cosmos? Euler se débarrasse de la gravité pour simplifier le problème.

• Tout mouvement se décompose en translation et rotation • Pour la translation: le centre de gravité suit une ligne droite en l'absence de force extérieure • Pour la rotation: on imagine une pomme de terre dont le centre de gravité est fixé et qui peut tourner en tous sens

En remplaçant la pomme de terre par une pastèque définie par sa masse, ses dimensions et sa position, on obtient un système d'équations intégrable, c'est-à-dire résolvable, permettant de prédire le mouvement de rotation.

En 1788, Joseph Louis Lagrange s'intéresse à une toupie ordinaire avec un axe de symétrie passant par son centre de gravité et une pointe fixe.

Cette forme simple permet d'ajouter la gravitation au système d'équations sans qu'il ne devienne insoluble.

• Rotation: la toupie tourne autour de son axe • Précession: l'extrémité de l'axe décrit des cercles autour de la verticale • Nutation: l'axe décrit de petits cercles sur lui-même qui se combinent avec la précession pour dessiner des boucles

La Terre est une grosse toupie: elle tourne sur elle-même, autour du soleil, et l'inclinaison de son axe cause les saisons. Cependant, son mouvement est bien plus complexe que celui de la toupie de Lagrange.

Comment bougerait la toupie d'Euler si, comme celle de Lagrange, elle était plongée dans un champ gravitationnel? Ce problème général reste sans réponse pendant longtemps.

En 1852, l'Académie prussienne des sciences annonce un prix de 100 ducats pour la résolution du problème du solide en rotation. Personne ne sait comment s'y prendre.

Le problème gagne le surnom de "sirène mathématique". En 1858, le prix est retiré faute de combattants, car aucun mathématicien ne fait le moindre progrès.

Le système d'équations qui décrit ce problème doit être résolu pour montrer qu'on peut prédire le mouvement, mais sa complexité surpasse tous les efforts.

Sofya Kovalevskaya est une mathématicienne russe devenue la première docteure en mathématiques d'Europe. Pour étudier les maths, elle a dû quitter la Russie où les femmes n'avaient pas accès à l'université.

• Elle a étudié en Allemagne • Elle a trouvé un poste à Stockholm • En 1888, elle dépose un mémoire à l'Académie des Sciences de Paris

Son mémoire, intitulé "Mémoire sur un cas particulier du problème de la rotation d'un corps pesant autour d'un point fixe", résout le problème de la toupie pour un cas nouveau, 100 ans après le travail de Lagrange.

Son travail est immédiatement célébré par ses collègues et lui vaut le prix Bordin de l'Académie des Sciences de Paris.

Alors qu'Euler et Lagrange avaient choisi des modèles simples contraignant une certaine régularité, Kovalevskaya cherche systématiquement dans l'espace des paramètres d'autres exemples de toupies dont le mouvement serait assez régulier pour rendre les équations intégrables.

Elle remarque que les toupies d'Euler et de Lagrange se ressemblent beaucoup si on remplace l'horloge ordinaire par une horloge complexe.

Mathématiquement, une horloge complexe mesure un temps à deux dimensions qui n'est pas linéaire. Au lieu d'une droite, il se déploie sur un plan temporel où chaque instant possède deux coordonnées temporelles.

Après 7 ans de travail acharné, elle découvre une toupie dont le centre de rotation et le centre de gravité ne sont pas confondus, et pourtant ses équations restent intégrables, comme les toupies d'Euler et Lagrange.

Seuls trois cas particuliers de solide en rotation autour d'un point sont intégrables: la toupie d'Euler, celle de Lagrange et celle de Kovalevskaya. Covalevskaya a découvert la dernière réponse à un problème globalement insoluble.

Ce résultat a été finalement démontré par Sergey Ziglin en 1983: la solution générale permettant de décrire le mouvement d'une patate quelconque ou de la Terre n'existe pas.

Au lieu de vouloir résoudre l'équation d'un mouvement à tout prix, on peut chercher à prouver que c'est impossible. Le mouvement devient alors imprévisible.

Les idées de Kovalevskaya ont donné naissance à un nouveau domaine des mathématiques. Son imprévisibilité mathématique continue d'inspirer les mathématiciens plus d'un siècle et demi après son découverte.