Les géométries non-euclidiennes | Voyages au pays des maths | ARTE

Visite express au pays des mathématiques, un endroit étrange rempli de graphies hiérarchiques, de pavages semi-périodiques et de polytops de dimension 4.

• Un guide pour jeter un œil au paysage • Un cerveau en état de marche

Eugène Düring, philosophe allemand, adresse une critique virulente à Karl Friedrich Gauss, grand mathématicien du 19e siècle allemand.

Gauss et d'autres mathématiciens ont remis en cause un postulat d'Euclide, donnant naissance aux géométries non-euclidiennes.

Au troisième siècle avant Jésus-Christ, Euclide compile un livre si admirable qu'il devient la bible des géomètres pendant plus de 2000 ans.

• Utilisation de la méthode axiomatique • Partir d'un petit nombre de choses admises comme vraies (axiomes) • Déduire d'autres choses utiles (théorèmes)

Des principes qui semblent évidents : deux quantités égales à une troisième sont aussi égales entre elles, et entre deux points on peut tracer un segment de droite unique.

En 1196, le philosophe Averroès affirme que Dieu, bien qu'omnipotent, n'aurait rien pu créer contredisant la logique d'Aristote ou la géométrie d'Euclide.

Le cinquième axiome d'Euclide affirme que par un point extérieur à une droite, on peut tracer une droite et une seule qui soit parallèle à la première.

• Pour les Grecs anciens, l'univers est fini et limité par une sphère • Deux droites presque parallèles se rencontrent très loin au-delà de la sphère étoilée • Ce point d'intersection n'appartient pas à l'univers et donc n'existe pas pour les Grecs

Le concept de droites parallèles présuppose un espace infini, une idée qui ne va pas de soi à l'époque antique.

Pendant 22 siècles après Euclide, les mathématiciens tentent de démontrer le cinquième axiome à partir des autres axiomes, cherchant à le transformer en théorème, sans succès.

• Ianos Bolyai, mathématicien hongrois • Nicolas Lobatchevski, mathématicien russe • Karl Friedrich Gauss, mathématicien allemand

Chacun dans leur coin, au début du 19e siècle, ils osent imaginer que le cinquième axiome est faux : soit il n'existe aucune parallèle, soit il en existe une infinité.

Gauss lui-même hésite pendant des années avant de publier son idée, conscient de son caractère révolutionnaire et de la remise en cause de tous les domaines scientifiques et philosophiques.

Les contemporains de Gauss, Bolyai et Lobatchevski ne montrent pas tous de l'enthousiasme pour ce nouveau monde mathématique ; la plupart préfèrent rester confortablement dans leur géométrie euclidienne.

• Bernard Riemann, élève de Gauss, remplace le plan euclidien par une sphère • Les points sont représentés par des paires de points diamétralement opposés • Les droites sont représentées par des grands cercles

Dans ce monde, tous les axiomes d'Euclide sont valides sauf le cinquième : par un point extérieur à une droite, on ne peut faire passer aucune parallèle.

• Décrit en 1881 par Henri Poincaré • Un monde plat enfermé dans un grand cercle • La taille des objets est maximale au centre et diminue jusqu'à 0 au bord

Vu de l'extérieur ce monde est limité, mais infini du point de vue de ses habitants. Leurs pas deviennent plus courts en s'approchant du bord, sans jamais l'atteindre. Le plus court chemin entre deux points est un arc de cercle.

De l'intérieur, un monde non-euclidien ressemble parfaitement à celui d'Euclide, avec pour seule différence qu'il possède un cinquième axiome différent.

On peut envisager beaucoup de mondes extrêmement raisonnables, chacun ayant sa propre géométrie et sa propre logique.

Les géométries non-euclidiennes, initialement étiquetées comme imaginaires, deviennent réelles quand Albert Einstein les utilise pour décrire l'univers à grande échelle et le continuum espace-temps.

Il n'existe pas une géométrie unique englobant tous les phénomènes ; il y a des géométries porteuses de visions du monde différentes.

• Pour décrire un déplacement dans un jardin : géométrie euclidienne • Pour décrire un déplacement en train : une autre géométrie où le chemin le plus court n'est plus la ligne droite • Pour des déplacements sur Internet : encore une autre géométrie

Aucune géométrie n'est vraie ou fausse dans l'absolu, mais l'une peut être plus efficace que l'autre selon le phénomène étudié.

Comme un artisan choisit un outil pour fabriquer un tonneau et un autre pour construire des étagères, un mathématicien choisit la géométrie la plus utile pour analyser un problème particulier.

Les mathématiques peuvent créer des mondes nouveaux et ces mondes imaginaires nous aident à comprendre le nôtre.