La théorie du chaos - De l'ordre dans le désordre | Voyages au pays des maths | ARTE

Un guide mathématique présente une visite express au pays des mathématiques, un endroit étrange peuplé de graphes hiérarchiques, pavages semiapériodiques et polytopes de dimension 4.

• Un guide compétent • Un cerveau en état de marche

L'aventure mathématique commence avec l'introduction de deux pendules pour illustrer les concepts fondamentaux.

Comprendre comment des systèmes apparemment simples peuvent présenter des comportements complexes et apparemment aléatoires.

Un pendule d'un bloc unique a un mouvement prévisible que les mathématiques peuvent décrire sans difficulté.

Un pendule composé de deux parties mobiles présente un mouvement compliqué et apparemment aléatoire due à cette simple modification.

Cette observation marque l'entrée dans le royaume du chaos déterministe, où le battement d'ailes d'un papillon peut provoquer une tornade.

Les systèmes peuvent être déterministes tout en produisant des résultats apparemment aléatoires et imprévisibles.

Galilée aurait lâché un boulet du haut de la tour de Pise, démontrant que le mouvement des objets peut être décrit par des équations mathématiques.

Le mouvement d'un objet sous l'action de la gravité est décrit par une équation permettant de prédire la hauteur en fonction du temps, appelé système dynamique.

• Newton et Leibniz ajoutent le calcul différentiel aux outils mathématiques • Les physiciens obtiennent une boule de cristal efficace pour prédire les trajectoires • Les mathématiques semblent pouvoir dévoiler chaque recoin du réel

Pierre Simon de Laplace affirme que pour une intelligence connaissant la vitesse et la position de chaque atome, l'avenir comme le passé serait entièrement prévisible.

Si on peut résoudre l'équation du mouvement des planètes avec deux objets, l'ajout d'un troisième rend le système beaucoup plus complexe et non résolvable explicitement.

Le problème à trois corps démontre que les mathématiques elles-mêmes ouvrent une brèche dans le déterminisme en ne permettant pas de résoudre explicitement le système d'équation.

Henri Poincaré, parmi les mathématiciens énervés par cette impossibilité, tente de comprendre le système d'équations qu'on ne peut pas résoudre.

Bien que le système soit déterministe (le présent détermine le futur), les solutions sont beaucoup plus variées et on ne peut même pas les trouver par approximation.

Les scientifiques ne disposent pas de l'intelligence omnisciente imaginée par Laplace et ne connaissent les positions et vitesses qu'avec une précision limitée.

• Dans certains cas, de petites différences initiales produisent de petites différences à l'arrivée • Dans d'autres cas, une variation imperceptible au départ aboutit à des situations totalement différentes

Quand la sensibilité extrême apparaît, la prédiction devient impossible et ce phénomène reste peu compris pendant un siècle.

Les mathématiciens ne progressent pas sur ce problème jusqu'au début des années 1960.

Au début des années 1960, Edward Lorenz, mathématicien au département de météorologie du MIT, dirige une équipe utilisant les premiers ordinateurs commerciaux pour améliorer les modèles de prévision météorologique.

Pour prévoir le temps, il faut connaître la température et la direction du vent localement et dans toute la région, idéalement à chaque point de l'atmosphère terrestre.

Lorenz simplifie son modèle au point qu'il ne prend en compte que trois variables et trois équations.

Hélène Fetter, informaticienne, est responsable des calculs numériques et introduit les valeurs initiales dans l'ordinateur pour générer les simulations.

Lors d'une réexamination d'une simulation précédente, Hélène Fetter réintroduit les trois valeurs initiales et obtient un résultat totalement différent de celui observé la première fois.

• Lorenz soupçonne d'abord un bug informatique • Il comprend que les sorties papier affichent seulement trois décimales tandis que le programme en utilise six

Remplacer 0,506127 par 0,506 a suffi pour transformer complètement le scénario de simulation.

Comme pour le problème à trois corps, toute prévision à long terme semble impossible avec ce système chaotique.

L'article de Lorenz consacré à ses résultats paraît en 1963 dans un journal de météorologie, mais les mathématiciens ne lisent pas ces journaux et l'article passe inaperçu.

En 1972, Lorenz donne une conférence intitulée « Prévisibilité : Le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? »

Cette image illustrant comment de très petites variations peuvent avoir des conséquences massives parvient enfin à capter l'attention des collègues mathématiciens.

Grâce à cette métaphore, l'effet papillon rencontre un succès énorme et inattendu, permettant au grand public de découvrir les limites du déterminisme décrites un siècle auparavant par Poincaré.

L'état d'un système dynamique est décrit par une série de coordonnées comme la position, la vitesse, l'angle du pendule, et cette série de nombres se représente par un point dans un espace abstrait appelé espace des phases.

En représentant la position du pendule sur un axe et sa vitesse sur un autre, le système évolue vers une position d'équilibre stationnaire qui correspond à un point appelé attracteur.

• Pour un pendule simple, quelle que soit sa position de départ, il converge vers un même point • Il existe des attracteurs plus compliqués correspondant à des équilibres cycliques

L'évolution des trois variables du modèle de Lorenz peut être décrite par le déplacement d'un point dans un espace à trois dimensions représentant différents états météorologiques.

Deux points presque confondus dans l'espace des phases parviennent rapidement à des positions complètement différentes, mais cette explosion n'est pas totalement aléatoire.

Si on multiplie les simulations, les différentes trajectoires finissent par se regrouper sur une forme très particulière : un attracteur d'un genre nouveau jamais observé auparavant.

• Contrairement aux trajectoires individuelles, cet objet ne dépend pas des conditions initiales • Il ne dépend que du système d'équation choisi • Il ressemble visuellement à un papillon

À la suite de Lorenz, on va découvrir des attracteurs étranges dans de nombreux autres domaines, levant partiellement le voile de mystère qui enveloppait les phénomènes chaotiques.

Le battement d'ailes d'un papillon brésilien peut déclencher un ouragan, mais un autre papillon peut aussi l'empêcher, réduisant le pouvoir apparent du papillon.

• Le papillon peut changer la date à laquelle une tornade va se déclencher • Le papillon ne peut pas changer le nombre moyen de tornades par an

Le papillon peut modifier la trajectoire du système atmosphérique dans l'espace des phases, mais pas la forme de l'attracteur sur lequel les trajectoires convergent.

L'effet papillon conserve son importance, mais elle est tempérée par la structure déterministe des attracteurs étranges.

La découverte du chaos déterministe a appris aux scientifiques à être modeste : on ne rêve plus d'un univers entièrement prédictible.

En recentrant les ambitions autour de questions statistiques, les scientifiques peuvent continuer de faire des prévisions même quand le système est chaotique.

• Les événements météo individuels sont imprévisibles à long terme • Le climat global est insensible aux papillons et donc sujet à des prévisions

Le chaos déterministe montre que les systèmes peuvent être à la fois imprévisibles en détail et possédant une structure générale régulière et prévisible.