Le jeu de la vie | Voyages au pays des maths | ARTE

Le pays des mathématiques est décrit comme un lieu exotique et déroutant où l'on parle une langue bizarre avec des concepts comme le morphisme de variétés et le différentiel.

Une visite express du pays des mathématiques pour jeter un œil aux paysages, aux idées vertigineuses et aux choses utiles.

• Un guide (le narrateur) • Un cerveau en état de marche (le spectateur)

Pas de véritable faire des mathématiques, mais observer les paysages et les concepts du domaine.

En octobre 1970, les lecteurs de la rubrique jeux mathématiques de Scientific American découvrent un jeu particulier créé par le mathématicien John Conway.

• Se joue sur un échiquier infini où chaque cellule peut être occupée ou vide, vivante ou morte • Jeu à zéro joueurs où on joue seul en appliquant des règles simples • Génère des figures complexes et apparemment imprévisibles • Peut se jouer à la main avec crayon et gomme, mais trouve sa véritable dimension sur écran d'ordinateur

Au début des années 70, le jeu suscite un tel engouement qu'un rapport de l'armée américaine estime à plusieurs millions de dollars le coût du temps de calcul gaspillé.

Le jeu de la vie appartient à la famille des automates cellulaires.

Au lendemain de la Deuxième Guerre mondiale, scientifiques et ingénieurs espèrent inventer une science nouvelle basée sur l'information : la cybernétique.

• Le mathématicien John Von Neumann a participé au développement du premier ordinateur fonctionnel • Il conçoit l'idée folle de modéliser la vie au moyen des mathématiques • Il s'intéresse particulièrement à la capacité des êtres vivants à se reproduire • Sa question centrale : une machine pourrait-elle construire une copie fonctionnelle d'elle-même ?

Von Neumann envisage d'abord un robot flottant attrappant la surface de l'eau, mais son ami Stanislas Ulam lui suggère une approche plus simple et abstraite : l'automate cellulaire.

Un univers simplifié composé de cellules identiques possédant différents états et basculant de l'un à l'autre en fonction d'un ensemble de règles.

Von Neumann cherche un système reproductif ressemblant à celui des êtres vivants, où l'objet qui se reproduit doit être complexe et se reproduire à partir d'éléments de base.

L'objectif ultime est que des variations et mutations permettent de simuler un processus évolutif.

Von Neumann imagine un automate cellulaire complexe et parvient à prouver théoriquement que l'auto-reproduction est possible.

Von Neumann rédige une théorie des automates autoreproductibles mais disparaît à 53 ans sans l'avoir terminée. Le livre est publié à titre posthume à la fin des années 60.

• Mathématicien anglais atypique, trop indiscipliné pour fonder une grande théorie ou école • A laissé son empreinte dans de nombreux domaines des mathématiques • Préfère inventer des jeux plutôt que de développer des systèmes formels • Aime discuter avec les étudiants, jouer au backgammon et inventer des jeux

Il privilégie les mathématiques expérimentales et concrètes, manipulables, loin de l'image du mathématicien isolé dans sa tour d'ivoire.

Conway transforme les idées abstraites de Von Neumann en jeu à zéro joueurs. Avec ses étudiants, ils jouent en se servant d'une planche de go ou de papier millimétré.

Après de nombreux essais plus complexes, les règles finissent par se simplifier à l'extrême.

Pour chaque cellule, le nombre de ses voisins à l'instant t décide de son état à l'instant t+1.

Une cellule vide devient pleine si elle a exactement trois voisins.

• Une cellule pleine continue de l'être si elle a deux ou trois voisins à l'instant suivant • Elle meurt d'isolement si elle a moins de deux voisins • Elle meurt de surpopulation si elle a plus de trois voisins

En appliquant simplement ces deux règles, des objets très simples peuvent générer une étonnante complexité visuelle.

Après l'article dans Scientific American, une véritable communauté d'amateurs se rassemble autour du jeu de la vie pour répertorier et étudier les formes qui apparaissent.

• Configurations stables appelées natures mortes par Conway • Exemples : la mare, la ruche, le pain, le bateau, le serpent

• Formes qui se stabilisent autour d'un cycle • Exemples : le clignotant, le phare, la pendule, le crapaud

Quelques formes particulières semblent avoir la capacité de se déplacer. Le glisseur est la plus simple et la plus courante, apparaissant souvent spontanément et se déplaçant en diagonale.

La complexité des formes qui apparaissent devient vite difficile à suivre à la main lors de leur évolution.

Les mini-ordinateurs qui commencent à se démocratiser prennent le relais et permettent de pousser l'exploration plus loin.

Une démarche descriptive et classificatrice ressemblant aux sciences naturelles pour étudier les configurations.

Une approche constructive à la façon d'un ingénieur, où on envisage de créer des configurations spécifiques avec des propriétés particulières.

Conway se demande s'il existe des configurations initiales qui générent une expansion infinie de la population et offre 50 dollars à qui en trouve une ou prouve qu'il n'en existe pas.

Bill Gosper, l'un des collègues de Conway, remporte le prix avec le canon à glisseurs qui crée un flux continu de glisseurs.

Le canon à glisseurs ouvre un tas de possibilités nouvelles pour la construction de structures complexes.

• Avec le canon à glisseurs, les étudiants de Conway peuvent construire l'équivalent des circuits logiques d'un ordinateur • Ils peuvent transmettre de l'information d'un point à un autre et la stocker dans des mémoires • Ils prouvent que le jeu de la vie est un calculateur universel capable d'effectuer toutes les opérations réalisables par un ordinateur

Au fil des années, avec le progrès des machines et des algorithmes, la communauté des passionnés du jeu de la vie peut examiner de plus en plus vite des configurations de plus en plus massives.

Des structures de plus en plus complexes continuent à être inventées. Quelqu'un a même fini par programmer le jeu de la vie au moyen du jeu de la vie lui-même.

• Modéliser la diffusion d'un gaz • Simuler des processus biologiques comme le développement d'une épidémie • Modéliser d'autres phénomènes physiques

Les automates cellulaires trouvent de nombreuses applications pratiques bien au-delà des questions théoriques de calcul.

Le rêve de Von Neumann et de Stanislas Ulam allait bien au-delà des questions de calcul : comprendre, simuler, voir et recréer la vie elle-même.

Dans une grille suffisamment vaste remplie aléatoirement, toutes les configurations peuvent se présenter à un moment ou à un autre. Parmi ces milliards de configurations, certaines pourraient être capables de se reproduire, de se multiplier, d'évoluer et même de devenir des créatures intelligentes.

À la même époque, Konrad Zuse, un pionnier allemand de l'informatique, propose une hypothèse encore plus spéculative : si la vie peut naître dans un automate cellulaire, pourquoi ne pas imaginer que notre monde est lui-même une simulation calculée par un automate cellulaire ou un dispositif équivalent.

Beaucoup d'autres scientifiques considèrent l'idée qu'une forme de vie puisse se développer dans un système aussi simpliste comme naïve, rappelant que le jeu de la vie est purement déterministe et entièrement prédictible, contrairement à la science du XXe siècle qui reconnaît l'importance des phénomènes non-déterministes.

L'invention de John Conway semble incarner deux mondes opposés et illustre spectaculairement comment des règles simples et déterministes peuvent donner naissance à des phénomènes complexes et apparemment imprévisibles.

Le jeu de la vie permet d'affirmer avec certitude qu'un univers immense, complexe et hautement organisé peut naître de règles simples.

Ces règles ont été imaginées par un créateur simplement entre deux parties de backgammon, montrant la puissance de la pensée créative en mathématiques.

Le jeu de la vie démontre que la complexité observable dans l'univers ne nécessite pas des règles complexes, mais peut émerger de principes élémentaires.