Sur la route de l’infini | Voyages au pays des maths | ARTE

Le pays des mathématiques est un endroit exotique et déroutant où on parle une langue bizarre avec des murs, du morphisme de variétés et des différentiels.

• Des paysages épiques et des idées vertigineuses • Des choses utiles et pratiques

Une visite express guidée pour jeter un œil aux paysages du pays sans vraiment faire de mathématiques.

• Un guide (le présentateur) • Un cerveau en état de marche (l'audience)

Une très longue autoroute avec des bornes kilométriques représentant les entiers naturels : 0, 1, 2, 3, et on continue indéfiniment.

• Selon la légende, le Brahmane Sissa inventa le jeu d'échecs • Le roi Shiram offrit une récompense : un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, en doublant à chaque fois • La récompense totale dépassait 18 secondes de prix, soit environ 400 kilomètres cubes de riz

• À 10 puissance 25, on atteint la taille de l'univers observable en mètres • À 10 puissance 80, on dépasse le nombre d'atomes qui composent l'univers

L'autoroute des entiers naturels s'étend toujours à perte de vue, sans limitations.

Les mathématiciens se contentaient de l'infini potentiel : illimité certes, mais qu'on ne peut visiter que par portion.

• Georg Cantor, mathématicien allemand né en 1845, inventa la théorie des ensembles • Pour Cantor, les entiers naturels ne sont pas une autoroute qui s'étend, mais un ensemble à appréhender globalement

L'ensemble N contient tous les entiers naturels et possède un nombre d'éléments infini. Le nombre d'éléments d'un ensemble s'appelle son cardinal.

Depuis le XVIIIe siècle, le symbole ℵ₀ représente le cardinal de l'ensemble N. La formule « cardinal de N égale infini » indique le début du voyage, non sa fin.

La bijection est une relation entre deux ensembles qui peut relier deux à deux chacun de leurs éléments sans oublier personne.

On ne peut établir une bijection entre deux ensembles que s'ils possèdent exactement le même nombre d'éléments, le même cardinal.

• L'ensemble des nombres pairs et celui des nombres impairs peuvent être mis en bijection • Il suffit d'ajouter un à chaque nombre pair pour obtenir chaque nombre impair • Il y a donc autant de nombres pairs que de nombres impairs

• Il existe une bijection entre l'ensemble N et l'ensemble des nombres pairs en multipliant chaque entier par deux • Il y a autant de nombres pairs que d'entiers tout court • Au pays des ensembles infinis, la partie peut être aussi grande que le tout

L'hôtel de Hilbert est un établissement imaginé par le mathématicien David Hilbert possédant un nombre infini de chambres numérotées.

Quand l'hôtel est complet et qu'un nouveau voyageur arrive, il suffit de demander à tous les clients de déménager à l'étage du dessus pour libérer la chambre 0.

• Quand un bus infini arrive avec une infinité de nouveaux voyageurs, chaque client se déplace dans la chambre portant le numéro double de sa chambre actuelle • Le client de la chambre 1 va dans la 2, celui de la 2 dans la 4, et ainsi de suite • Toutes les chambres impaires se libèrent ainsi pour loger les nouveaux voyageurs

• Infini plus infini égale infini • On peut additionner entre elles des quantités infinies sans augmenter leur taille • Impossible d'imaginer quelque chose de plus grand que l'infini, semblerait-il

En 1871, Cantor publie un article prouvant qu'il existe plusieurs infinis différents.

• Entre les entiers naturels existent les nombres à virgule comme 3,075 • Il existe aussi des nombres étranges comme la racine de 2 qui possède une infinité de chiffres après la virgule • Les mathématiciens appellent ces nombres les « nombres réels », appartenant à l'ensemble R

Cantor considère un petit intervalle de l'ensemble des réels : ceux compris entre 0 et 1, pour démontrer que ces réels ne peuvent pas être énumérés comme les entiers naturels.

• L'ensemble R qui contient tous les réels est plus grand que celui des entiers naturels N • Les deux ensembles sont infinis, mais R est « plus infini » • Les cardinaux infinis sont notés ℵ₀ (aleph zéro), ℵ₁ (aleph 1), ℵ₂ (aleph 2), etc.

Supposons qu'une liste existe qui énumère tous les nombres réels entre 0 et 1 : une liste infinie où chaque élément commence par « 0, » et possède une infinité de décimales.

• On prend la première décimale du premier nombre • La deuxième décimale du deuxième nombre • La troisième décimale du troisième nombre, et ainsi de suite • Avec tous les chiffres de cette diagonale, on compose un nouveau nombre

On modifie chaque chiffre du nouveau nombre en ajoutant un à chacun, créant un nombre différent de tous ceux de la liste.

• Aucune bijection ne peut exister entre les réels et les entiers naturels • Il existe plus de nombres réels dans le segment 0-1 que d'entiers naturels • Quelle que soit la liste proposée, on peut toujours trouver un nombre réel qui ne y figure pas

Georg Cantor prouva qu'il existe une série infinie d'ensembles infinis de plus en plus grands, avec des cardinaux croissants.

• Les cardinaux respectifs sont notés ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂... et ainsi de suite • Il n'y a pas de plus grand infini : après chaque infini, il existe toujours un infini plus grand

Malgré l'infinité d'infinis que Cantor offrit aux mathématiques, il n'obtint jamais de poste dans une grande université.

• Leopold Kronecker, un collègue bien placé, n'aimait pas les idées de Cantor • Il les trouvait trop modernes • L'éternité est long, mais l'injustice aussi, surtout vers la fin